Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
\int\left(x^{2}+1\right)^{5} 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando substituição:
\int\left(x^{2}+1\right)^{5} 2x\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \left(x^{2}+1\right)^{5} 2x.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda.
  • Podemos usar a técnica de substituição porque há uma função composta \left(x^{2}+1\right)^{5} e aparece seu provável derivado 2x.

Passo 2

Ideia da substituição (a “aula” curta): quando a integranda tem a forma f(g(x))\cdot g'(x), uma boa escolha é definir u=g(x). Isso transforma a integral em \int f(u)\,du, que costuma ser mais simples. Aqui, a parte interna da potência é g(x)=x^{2}+1 e seu derivado é g'(x)=2x, que aparece multiplicando. Então fazemos a substituição padrão.

Passo 3

Definir a substituição explicitamente:
u = x^{2}+1.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos:
\frac{du}{dx} = 2x \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx.
Repare que 2x\,dx aparece exatamente na integral original — isso é perfeito.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u. Substituindo u e du na integral:
\int\left(x^{2}+1\right)^{5} 2x\,dx = \int u^{5}\,du.
Agora a integral está em uma forma simples: uma potência de u.

Passo 5

Integrar usando a regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=5, então
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C.
Expliquei a regra: soma-se 1 ao expoente e divide-se pelo novo expoente; sempre lembrar do +C de constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u = x^{2}+1:
\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{\left(x^{2}+1\right)^{6}}{6} + C.
Pronto — essa é a primitiva na variável x.

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar o resultado para checar se volta à integranda.
Derivando \dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{6}}{6} pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\left(x^{2}+1\right)^{6}}{6}\right) = \frac{6\left(x^{2}+1\right)^{5}\cdot 2x}{6} = \left(x^{2}+1\right)^{5}\cdot 2x,
que é exatamente a integranda. Está correto!

Passo 8

Exemplo de reforço (para treinar rápido): se tivesse \int\left(x^{2}+1\right)^{3}2x\,dx, a mesma substituição u=x^{2}+1 \int u^{3}\,du=\dfrac{u^{4}}{4}+C=\dfrac{(x^{2}+1)^{4}}{4}+C. O procedimento é o mesmo: identificar g(x), ver se g'(x) aparece, substituir e integrar a potência.

Resposta

\displaystyle \frac{\left(x^{2}+1\right)^{6}}{6}+C

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