Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando substituição:
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que seja a integranda. - Podemos usar a técnica de substituição porque há uma função composta
e aparece seu provável derivado .
Passo 2
Ideia da substituição (a “aula” curta): quando a integranda tem a forma
, uma boa escolha é definir
. Isso transforma a integral em
, que costuma ser mais simples. Aqui, a parte interna da potência é
e seu derivado é
, que aparece multiplicando. Então fazemos a substituição padrão.
Passo 3
Definir a substituição explicitamente:
Agora calculamos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos:
Repare que
aparece exatamente na integral original — isso é perfeito.
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
na integral:
Agora a integral está em uma forma simples: uma potência de
.
Passo 5
Integrar usando a regra da potência para primitiva: para
,
Aqui
, então
Expliquei a regra: soma-se 1 ao expoente e divide-se pelo novo expoente; sempre lembrar do
de constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
:
Pronto — essa é a primitiva na variável
.
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar o resultado para checar se volta à integranda.
Derivando pelo teorema da cadeia:
Derivando
que é exatamente a integranda. Está correto!
Passo 8
Exemplo de reforço (para treinar rápido): se tivesse
, a mesma substituição
dá
. O procedimento é o mesmo: identificar
, ver se
aparece, substituir e integrar a potência.