(0,4 pts) Questão 4 - Determine a solução geral da equação de Riccati dada por:
y^{\prime}+x y^{2}-2 x^{2} y+x^{4}=x^{2}-2 e^{x / 3}+13,

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
y^{\prime}+x y^{2}-2 x^{2} y+x^{4}=x^{2}-2 e^{x / 3}+13.
Informações dadas (resumidas):
  • A equação é do tipo Riccati, isto é, uma equação de primeira ordem com termo quadrático em y.
  • Colocando todos os termos à esquerda, a equação pode ser vista na forma padrão
y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2,
com os coeficientes (vou mostrá-los explicitamente nos próximos passos).
O que a questão pede:
  • Encontrar a solução geral y(x) da equação dada.

Passo 2

Estratégia e justificativa (por que escolher este método).
  • Para uma equação de Riccati na forma
y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2,
existe um método padrão: a substituição
y(x) = -\frac{u'(x)}{q_2(x)\,u(x)}
transforma a Riccati numa equação linear de segunda ordem para u(x). A ideia é que essa substituição transforma o termo quadrático em y em um termo que cancela com parte de y', resultando numa equação linear para u. Vou aplicar precisamente esse procedimento à equação dada.
Primeiro identifiquemos q_0,q_1,q_2 movendo o lado direito para a esquerda:
y' + x y^2 -2x^2 y + x^4 - x^2 + 2 e^{x/3} -13 = 0,
logo, na forma padrão
y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2
temos
q_2(x)=x,\qquad q_1(x)=-2x^2,\qquad q_0(x)=-x^4+x^2-2e^{x/3}+13.

Passo 3

Aplicando a substituição. Vou usar a forma
y(x) = -\frac{u'(x)}{x\,u(x)}
(escolhi q_2(x)=x conforme identificado). Para prosseguir precisamos expressar y' e y^2 em termos de u.
Defina a função auxiliar
w(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Então y=-\dfrac{w}{x}. Derivando y em termos de w:
y' = -\left(\frac{w}{x}\right)' = -\left(\frac{w'}{x} - \frac{w}{x^2}\right) = \frac{w}{x^2}-\frac{w'}{x}.
Também
y^2=\frac{w^2}{x^2}.
Agora substituímos y',y,y^2 na equação original escrita como
y' = q_0(x) + q_1(x) y + q_2(x) y^2.
Com q_1=-2x^2,\\ q_2=x isso dá
\frac{w}{x^2}-\frac{w'}{x} = q_0(x) + (-2x^2)\left(-\frac{w}{x}\right) + x\cdot\frac{w^2}{x^2}.
Simplificando os termos do lado direito:
\frac{w}{x^2}-\frac{w'}{x} = q_0(x) + 2x w + \frac{w^2}{x}.

Passo 4

Converter em equação para u. Multiplicando a igualdade anterior por x obtemos
\frac{w}{x}-w' = q_0(x)\,x + 2x^2 w + w^2.
Agora usamos a identidade que liga w e u:
w=\frac{u'}{u},\qquad w'+w^2=\frac{u''}{u}.
Reescrevendo -w'-w^2 = -\dfrac{u''}{u} e substituindo em lugar apropriado na equação (note que isolamos -w'-w^2 para cancelar os termos quadráticos), obtemos, após multiplicar por u e reorganizar os termos, a equação linear de segunda ordem para u:
u'' +\Bigl(2x^{2}-\frac{1}{x}\Bigr)u' + q_0(x)\,x\,u=0.
Agora substituímos q_0(x)=-x^4+x^2-2e^{x/3}+13 para escrever explicitamente o coeficiente:
q_0(x)\,x = -x^5 + x^3 - 2x e^{x/3} + 13x.
Portanto a equação linear para u fica
u'' +\Bigl(2x^{2}-\frac{1}{x}\Bigr)u' +\bigl(-x^{5}+x^{3}-2x e^{x/3}+13x\bigr)u=0.
Observação didática curta: agora temos uma EDO linear de segunda ordem para u. Em teoria linear, a solução geral dessa equação é
u(x)=C_{1}u_{1}(x)+C_{2}u_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} formam um sistema fundamental de soluções da equação linear acima. Não tente adivinhar uma solução particular trivial: os coeficientes dependem de e^{x/3} e de potências de x, então a resolução explícita de u em termos de funções elementares pode ser complicada ou não elementar. Mas para a Riccati o procedimento está completo: a solução geral de y é obtida a partir da solução geral de u.

Passo 5

Construindo a solução geral de y a partir de u.
  • Se u é uma solução qualquer não identicamente zero da equação linear de segunda ordem encontrada, então
y(x)=-\frac{u'(x)}{x\,u(x)}
é uma solução da Riccati.
  • Se u_1,u_2 forem duas soluções linearmente independentes da equação linear, a solução geral de u é u=C_1 u_1 + C_2 u_2. Substituindo na fórmula acima obtemos a solução geral da Riccati:
y(x)=-\frac{(C_1 u_1'+C_2 u_2')(x)}{x\,(C_1 u_1+C_2 u_2)(x)}.
Resumo da receita prática para usar na prova:
  1. Identificar q_2(x)=x e usar y=-u'/(x u).
  2. Derivar a EDO linear para u: ela foi encontrada no passo anterior.
  3. Resolver (ou justificar a forma da solução) da EDO linear; então recomputar y por y=-u'/(x u).

Resposta

y(x)=-\frac{u'(x)}{x\,u(x)},
onde u(x) é a solução geral da equação linear de segunda ordem
u''+\Bigl(2x^{2}-\frac{1}{x}\Bigr)u'+\bigl(-x^{5}+x^{3}-2x e^{x/3}+13x\bigr)u=0.

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