(0,4 pts) Questão 4 - Determine a solução geral da equação de Riccati dada por:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Riccati
Informações dadas (resumidas):
- A equação é do tipo Riccati, isto é, uma equação de primeira ordem com termo quadrático em
. - Colocando todos os termos à esquerda, a equação pode ser vista na forma padrão
com os coeficientes (vou mostrá-los explicitamente nos próximos passos).
O que a questão pede:
- Encontrar a solução geral
da equação dada.
Passo 2
Estratégia e justificativa (por que escolher este método).
- Para uma equação de Riccati na forma
existe um método padrão: a substituição
transforma a Riccati numa equação linear de segunda ordem para
. A ideia é que essa substituição transforma o termo quadrático em
em um termo que cancela com parte de
, resultando numa equação linear para
. Vou aplicar precisamente esse procedimento à equação dada.
Primeiro identifiquemos
movendo o lado direito para a esquerda:
logo, na forma padrão
temos
Passo 3
Aplicando a substituição. Vou usar a forma
(escolhi
conforme identificado). Para prosseguir precisamos expressar
e
em termos de
.
Defina a função auxiliar
Então
. Derivando
em termos de
:
Também
Agora substituímos
na equação original escrita como
Com
isso dá
Simplificando os termos do lado direito:
Passo 4
Converter em equação para
. Multiplicando a igualdade anterior por
obtemos
Agora usamos a identidade que liga
e
:
Reescrevendo
e substituindo em lugar apropriado na equação (note que isolamos
para cancelar os termos quadráticos), obtemos, após multiplicar por
e reorganizar os termos, a equação linear de segunda ordem para
:
Agora substituímos
para escrever explicitamente o coeficiente:
Portanto a equação linear para
fica
Observação didática curta: agora temos uma EDO linear de segunda ordem para
. Em teoria linear, a solução geral dessa equação é
onde
formam um sistema fundamental de soluções da equação linear acima. Não tente adivinhar uma solução particular trivial: os coeficientes dependem de
e de potências de
, então a resolução explícita de
em termos de funções elementares pode ser complicada ou não elementar. Mas para a Riccati o procedimento está completo: a solução geral de
é obtida a partir da solução geral de
.
Passo 5
Construindo a solução geral de
a partir de
.
- Se
é uma solução qualquer não identicamente zero da equação linear de segunda ordem encontrada, então
é uma solução da Riccati.
- Se
forem duas soluções linearmente independentes da equação linear, a solução geral de é . Substituindo na fórmula acima obtemos a solução geral da Riccati:
Resumo da receita prática para usar na prova:
- Identificar
e usar . - Derivar a EDO linear para
: ela foi encontrada no passo anterior. - Resolver (ou justificar a forma da solução) da EDO linear; então recomputar
por .
Resposta
onde
é a solução geral da equação linear de segunda ordem