Calcule, caso exista lim x 1 f(x), onde: f(x)=cll1-raizx1-raiz[3]x, & se & x>1 x^2-x2-12(x-1), & se & x<1

Passo 1

O enunciado pede
O conteúdo envolvido é cálculo de limites de forma indeterminada (0/0], usando fatoração e regra de l’Hôpital.]

Passo 2

Vamos ao limite pela direita:
limxto1^+1-raizx1-raiz[3]x
Ao substituir x=1 aparece 0/0, então aplicamos a regra de l’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x:
num'(x)=-tfrac12,x^-1/2, den'(x)=-tfrac13,x^-2/3
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limxto1^+1-raizx1-raiz[3]x =limxto1^+-tfrac12,x^-1/2-tfrac13,x^-2/3 =tfrac12tfrac13,x^(-tfrac12+tfrac23) |x=1 =32cdot1^1/6 =32

Passo 3

Agora o limite pela esquerda:
limxto1^-x^2-tfracx2-tfrac12x-1
No numerador temos indeterminação 0/0, então fatoramos:
x^2-x2-12 =2x^2 - x -12 =(2x+1)(x-1)2
Assim
x^2-tfracx2-tfrac12x-1 =(2x+1)(x-1)2(x-1) =2x+12,
e, fazendo xto1, obtemos
limxto1^-f(x)=2cdot1+12=32

Passo 4

Como os limites lateral direito e esquerdo coincidem em tfrac32, concluímos que o limite de f(x) em x=1 existe.

Resposta

boxed32

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