Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 1 da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e, possivelmente, a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1:
- No numerador:
- No denominador:
Então, temos uma forma
, que é indefinida. Nesses casos, a Regra de L’Hôpital é uma boa opção para resolver.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se o limite
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada do numerador
: (Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada deé , onde ) -
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos calcular esse limite substituindo
:
Sabemos que
(porque
e
), então:
Resposta
O limite é 2.