Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(j) lim x 1 tg(x^2-1)x-1

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 1 da função . Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e, possivelmente, a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 1:
  • No numerador:
  • No denominador:
Então, temos uma forma , que é indefinida. Nesses casos, a Regra de L’Hôpital é uma boa opção para resolver.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se o limite ddx[tan(x^2-1)] = sec^2(x^2-1) cdot 2x resulta em ddx[x-1] = 1 ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador :
    (Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde )
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo pelas derivadas:
limx 1 sec^2(x^2-1) cdot 2x1
Isso simplifica para:
limx 1 2x cdot sec^2(x^2-1)

Passo 5

Vamos calcular esse limite substituindo 2(1) cdot sec^2(1^2-1) = 2 cdot sec^2(0) :
2 cdot (1)^2 = 2 cdot 1 = 2
Sabemos que (porque e ), então:

Resposta

O limite é 2.

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