Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(n) lim x 0 3^x+1-9e^x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício tá na área de Cálculo, especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções exponenciais perto de 0 e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador. Sabemos que 3 cdot 3^x - 9e^x - 1 pode ser reescrito como . Então, a expressão fica:

Passo 3

Vamos fatorar o 3 no numerador:
3 cdot (3^x - 3)e^x - 1

Passo 4

Observa que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1 e também se aproxima de 1. Então, substituindo , temos:
Numerador:
Denominador:
Isso significa que estamos diante de uma situação do tipo .

Passo 5

Quando temos uma fração onde o numerador é uma constante diferente de zero e o denominador se aproxima de zero, o limite tende ao infinito ou a menos infinito, dependendo do sinal.

Passo 6

Vamos analisar os sinais:
  • Se se aproxima de 0 pela direita ( ):
    • (porque )
    • Então,
  • Se se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
    • (porque )
    • Então,

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: vai para menos infinito pela direita e para mais infinito pela esquerda.

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