Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(n)
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Esse exercício tá na área de Cálculo, especificamente sobre limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como se comportam as funções exponenciais perto de 0 e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do numerador. Sabemos que
pode ser reescrito como
. Então, a expressão fica:
Passo 3
Vamos fatorar o 3 no numerador:
Passo 4
Observa que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1 e
também se aproxima de 1. Então, substituindo
, temos:
Numerador:
Denominador:
Isso significa que estamos diante de uma situação do tipo
.
Passo 5
Quando temos uma fração onde o numerador é uma constante diferente de zero e o denominador se aproxima de zero, o limite tende ao infinito ou a menos infinito, dependendo do sinal.
Passo 6
Vamos analisar os sinais:
-
Se
se aproxima de 0 pela direita ( ): -
(porque ) - Então,
-
-
Se
se aproxima de 0 pela esquerda ( ): -
(porque ) - Então,
-
Passo 7
Como os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: vai para menos infinito pela direita e para mais infinito pela esquerda.