Calcule, caso exista, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}-x-6}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -2}\frac{x^{2}+5x+6}{x^{2}-x-6}.
Estamos diante de um limite que pode dar indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificação de fatores comuns.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir x=-2 diretamente:
o numerador fica
(-2)^{2}+5\cdot(-2)+6 = 4 -10 +6 = 0,
e o denominador fica
(-2)^{2}-(-2)-6 = 4 +2 -6 = 0.
Portanto há indeterminação 0/0.

Passo 3

Fatoramos cada polinômio:
x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3),
x^{2}-x-6 = (x+2)(x-3).

Passo 4

Para x\neq -2, cancelamos o fator comum (x+2) e obtemos a função equivalente
\frac{x+3}{x-3}.
Agora podemos avaliar o limite por substituição simples.

Passo 5

Substituindo x=-2 em \frac{x+3}{x-3}
\frac{-2+3}{-2-3} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}.

Resposta

-\tfrac{1}{5}

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