A coordenada y do centro de massa da metade superior do disco x^{2}+y^{2} \leq R^{2} com densidade por unidade de área \rho(x, y)=x^{2}+y^{2} é igual a
(A) \frac{8 R}{5 \pi}.
(B) \frac{\pi R^{4}}{4}.
(C) \frac{2 R^{5}}{5}.
(D) 0 .
(E) \frac{4 R}{5 \pi}.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado pede a coordenada y do centro de massa da metade superior do disco x^{2}+y^{2}\le R^{2}, y\ge0, com densidade \rho(x,y)=x^{2}+y^{2}. Vamos usar a definição
y_{\text{cm}} =\frac{1}{M}\iint_{D}y\,\rho(x,y)\,dA
onde
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA
e D é o semicírculo r\in[0,R], \theta\in[0,\pi]. Em coordenadas polares temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, \rho=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Calcular a massa total
M=\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R}r^{2}\cdot r\;dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}d\theta\;\int_{0}^{R}r^{3}dr =\pi\;\frac{R^{4}}{4} =\frac{\pi R^{4}}{4}.

Passo 3

Calcular o momento em y
N=\iint_{D}y\,\rho\,dA =\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{R}(r\sin\theta)\,r^{2}\,r\,dr\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{R}r^{4}dr\Bigr) =2\cdot\frac{R^{5}}{5} =\frac{2R^{5}}{5}.

Passo 4

Obter a coordenada y_{\text{cm}} pela razão
y_{\text{cm}} =\frac{N}{M} =\frac{\displaystyle\frac{2R^{5}}{5}}{\displaystyle\frac{\pi R^{4}}{4}} =\frac{2R^{5}}{5}\cdot\frac{4}{\pi R^{4}} =\frac{8R}{5\pi}.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{8R}{5\pi}.

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