A massa da casca cilíndrica x^{2}+y^{2}=4 com 0 \leq z \leq 3 e densidade por unidade de área \rho(x, y, z)=z+1 é igual a
(A) 12 \pi.
(B) 30 \pi.
(C) 32 \pi.
(D) 24 \pi.
(E) 15 \pi.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado dá uma casca cilíndrica definida por x^{2}+y^{2}=4 com 0\le z\le3 e densidade superficial \rho(x,y,z)=z+1. O conteúdo aqui é integral de superfície para calcular massa, logo precisamos parametrizar a superfície e usar
\mathrm{d}S = \bigl\lvert \mathbf r_{\theta}\times \mathbf r_{z}\bigr\rvert\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

Passo 2

Parametrizamos a casca por
\mathbf r(\theta,z)=\bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;z\bigr),
com \theta variando de 0 a 2\pi e z de 0 a 3. Calculamos
\mathbf r_{\theta}=(-2\sin\theta,\,2\cos\theta,\,0), \quad \mathbf r_{z}=(0,0,1),
\mathbf r_{\theta}\times \mathbf r_{z}=(2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,0), \quad \bigl\lvert \mathbf r_{\theta}\times \mathbf r_{z}\bigr\rvert=2.
Logo \mathrm{d}S=2\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z.

Passo 3

A massa M é
M=\iint_{S}\rho\,\mathrm{d}S =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}(z+1)\,2\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta =2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{3}(z+1)\,\mathrm{d}z.
Calculando a integral em z:
\int_{0}^{3}(z+1)\,\mathrm{d}z =\Bigl[\tfrac{z^{2}}{2}+z\Bigr]_{0}^{3} =\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}.
Então
M=2\cdot 2\pi\cdot \frac{15}{2} =30\pi.

Resposta

(B)

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