Calcule, caso exista, os seguintes limites:
\lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{\operatorname{sen}(y)+3}{y^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{y\to -\infty}\frac{\operatorname{sen}(y)+3}{y^{2}-9}.
O conteúdo envolve análise de limite no infinito de uma função que tem numerador oscilante e denominador polinomial. Vamos usar o fato de que \operatorname{sen}(y)+3 é limitada e y^2-9 cresce sem limite para |y|\to\infty.

Passo 2

Observamos que
-1 \le \operatorname{sen}(y) \le 1
para todo y. Soma-se 3 em cada parte da desigualdade e obtemos
2 \le \operatorname{sen}(y)+3 \le 4.

Passo 3

Para y\to -\infty, o termo y^2 domina e y^2-9\to +\infty. Em particular, para |y|>3 temos y^2-9>0.

Passo 4

Como 2\le \operatorname{sen}(y)+3\le 4 e y^2-9>0, segue que, para |y|>3,
\frac{2}{y^2-9}\;\le\;\frac{\operatorname{sen}(y)+3}{y^2-9}\;\le\;\frac{4}{y^2-9}.
Mas
\lim_{y\to-\infty}\frac{2}{y^2-9} =\lim_{y\to-\infty}\frac{4}{y^2-9}=0.
Pelo Teorema do Confronto, concluímos que
\lim_{y\to -\infty}\frac{\operatorname{sen}(y)+3}{y^{2}-9}=0.

Resposta

0

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