Determine as equações das retas assíntotas ao gráfico da função
f(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}
Boa prova 😃

Passo 1

O enunciado pede as retas assíntotas do gráfico da função
f(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}.
Para isso vamos usar:
  1. Retas verticais como assíntotas quando a função tende a \pm\infty em algum ponto do domínio (polo).
  2. Retas horizontais como assíntotas quando o limite de f(x) em x\to\pm\infty existe e é finito.

Passo 2

Determinar a assíntota vertical.
O denominador de f(x) é zero em x-2=0, ou seja em x=2. Vamos checar os limites laterais:
\lim_{x\to2^-}f(x) =\lim_{x\to2^-}\Bigl(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}\Bigr)=-\infty,
\lim_{x\to2^+}f(x) =\lim_{x\to2^+}\Bigl(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}\Bigr)=+\infty.
Como em x=2 a função explode para \pm\infty, a assíntota vertical é
x=2.

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal.
Calculamos o limite de f(x) quando x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\Bigl(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{3}\Bigr) =0+\frac{1}{3} =\frac{1}{3}.
Portanto, a reta horizontal que o gráfico de f se aproxima em infinito é
y=\frac{1}{3}.

Resposta

A equação da assíntota vertical é x=2 e da assíntota horizontal é y=\tfrac{1}{3}.

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