Considere a função f(x)=x^{3}-8 x+10. Determine um intervalo (a, b), de comprimento igual à 1 , que contenha um número c \in \mathbb{R} tal que f\text{(c)}=e. Qual resultado garante a existência desse número c ? (Lembrete: e \approx 2,71 \ldots )

Passo 1

O enunciado pede que encontremos um intervalo (a,b) de comprimento 1 em que exista c\in\mathbb{R} tal que f\text{(c)}=e, sabendo que
f(x)=x^3-8x+10.
Como f é um polinômio, ela é contínua em toda reta. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de c.

Passo 2

Escolhemos o intervalo (1,2), que tem comprimento
2-1=1.
Calculamos os valores de f em 1 e 2:
f(1)=1^3-8\cdot1+10=3,
f(2)=2^3-8\cdot2+10=2.

Passo 3

Observamos que
f(1)=3>e\approx2,71
e
f(2)=2<e,
ou seja, f(1) e f(2) estão em lados opostos de e.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como f é contínua em [1,2] e e está entre f(1) e f(2), existe c\in(1,2) tal que
f\text{(c)}=e.

Resposta

O intervalo (1,2) contém um c com f\text{(c)}=e. O resultado é garantido pelo Teorema do Valor Intermediário (também chamado Teorema de Bolzano).

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