Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(v) lim x +infty(1+1x^2)^x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+1x^2r)^x^2
O conteúdo usado será o limite fundamental que gera a base do logaritmo natural e e a técnica de passar para o logaritmo.

Passo 2

Defina
y = l(1+1x^2r)^x^2
Para estudar o limite de y, consideramos o logaritmo natural:
ln y = x^2,lnl(1+1x^2r)

Passo 3

Quando xto+infty, temos u = 1x^2to 0, e usamos a expansão
ln(1+u) = u + o(u)
Logo,
ln y = x^2,l(u + o(u)r) = x^2,l(1x^2 + ol(tfrac1x^2r)r) = 1 + o(1) ;xrightarrow[xtoinfty];1

Passo 4

Como ln yto1, segue que
y = e^ln y;xrightarrow[xtoinfty];e^1 = e

Resposta

limxto+inftyl(1+1x^2r)^x^2 = e

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