Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função f no ponto P0 e na direção do vetor u.
f(x, y)=e^2 x^2-y^2, P0=(1,1), u=(2,3).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(x, y) = e^2x^2 - y^2 no ponto P0 = (1,1) na direção do vetor u = (2,3) . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e vetor unitário na direção dada. Basicamente, precisamos calcular como a função muda naquele ponto específico na direção indicada pelo vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de f em relação às suas variáveis. Ou seja:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = ddx ( e^2x^2 - y^2 ) = e^2x^2 - y^2 cdot 4x
partial fpartial y = ddy ( e^2x^2 - y^2 ) = e^2x^2 - y^2 cdot (-2y)
Então, o gradiente fica:
nabla f = ( 4x cdot e^2x^2 - y^2, -2y cdot e^2x^2 - y^2 )
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P0 = (1,1) :
nabla f(1,1) = ( 4(1) cdot e^2(1)^2 - (1)^2, -2(1) cdot e^2(1)^2 - (1)^2 ) = ( 4e^2 - 1, -2e^2 - 1 ) = ( 4e, -2e )

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor u = (2,3) para obter um vetor unitário na direção de u . A fórmula para isso é:
u = u|u|
Onde |u| é o módulo do vetor u , calculado por:
|u| = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13
Então, o vetor unitário é:
u = ( 2raiz13, 3raiz13 )

Passo 4

Finalmente, a derivada direcional de f no ponto P0 na direção de u é o produto escalar entre o gradiente de f em P0 e o vetor unitário u :
Du f = nabla f(1,1) cdot u = ( 4e, -2e ) cdot ( 2raiz13, 3raiz13 )
Fazendo o produto escalar:
Du f = 4e cdot 2raiz13 + (-2e) cdot 3raiz13 = 8e - 6eraiz13 = 2eraiz13

Resposta

A derivada direcional de f em P0 = (1,1) na direção de u = (2,3) é:
Du f = 2eraiz13

Exercícios relacionados