Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do vetor
.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e vetor unitário na direção dada. Basicamente, precisamos calcular como a função muda naquele ponto específico na direção indicada pelo vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor
para obter um vetor unitário na direção de
. A fórmula para isso é:
Onde
é o módulo do vetor
, calculado por:
Então, o vetor unitário é:
Passo 4
Finalmente, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é: