Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função f no ponto P0 e na direção do vetor u.
f(x, y, z)=sin (2 x y)+cos (y z)+3, P0=(1,0,-1), u=(1,-2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função f(x, y, z) = sin(2xy) + cos(yz) + 3 no ponto P0 = (1, 0, -1) na direção do vetor u = (1, -2, 2) . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e multiplicar por um vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de f em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x ( sin(2xy) + cos(yz) + 3 ) = 2y cos(2xy)
Agora, a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y ( sin(2xy) + cos(yz) + 3 ) = 2x cos(2xy) - z sin(yz)
E por último, a derivada parcial em relação a z :
partial fpartial z = partialpartial z ( sin(2xy) + cos(yz) + 3 ) = -y sin(yz)
Então, o gradiente é:
nabla f = ( 2y cos(2xy), 2x cos(2xy) - z sin(yz), -y sin(yz) )

Passo 4

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto P0 = (1, 0, -1) . Substituindo x = 1 , y = 0 e z = -1 nas componentes do gradiente:
nabla f(P0) = ( 2 cdot 0 cdot cos(2 cdot 1 cdot 0), 2 cdot 1 cdot cos(2 cdot 1 cdot 0) - (-1) cdot sin(0 cdot -1), -0 cdot sin(0 cdot -1) )
Simplificando:
nabla f(P0) = ( 0, 2 cdot cos(0) + 0, 0 ) = ( 0, 2 cdot 1, 0 ) = (0, 2, 0)

Passo 5

Agora, precisamos transformar o vetor u = (1, -2, 2) em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a magnitude de u :
| u | = raiz1^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Então, o vetor unitário na direção de u é:
u = ( 13, -23, 23 )

Passo 6

Por fim, a derivada direcional de f no ponto P0 na direção de u é o produto escalar entre o gradiente de f em P0 e o vetor unitário u :
Du f(P0) = nabla f(P0) cdot u = (0, 2, 0) cdot ( 13, -23, 23 ) = 0 cdot 13 + 2 cdot -23 + 0 cdot 23 = -43

Resposta

A derivada direcional de f no ponto P0 = (1, 0, -1) na direção do vetor u = (1, -2, 2) é -43 .

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