Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do vetor
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e multiplicar por um vetor unitário na direção desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. Ou seja:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
E por último, a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
,
e
nas componentes do gradiente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos transformar o vetor
em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Por fim, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.