Calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto P(0,0) e na direção u=(1,1).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função f(x, y) no ponto P(0,0) na direção do vetor u = (1,1) . Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e direcionais. Precisaremos entender como aplicar a definição de derivada direcional usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada direcional. A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor u é dada por:
Duf(P) = limh to 0 f(P + hu) - f(P)h
Aqui, h é um número pequeno que representa o passo na direção de u .
Passo 3
No nosso caso, P = (0,0) e u = (1,1) . Então, P + hu = (0 + h cdot 1, 0 + h cdot 1) = (h, h) . Vamos substituir isso na definição:
Duf(0,0) = limh to 0 f(h, h) - f(0,0)h
Passo 4
Sabemos que f(0,0) = 0 pela definição da função. Então, a expressão fica:
Duf(0,0) = limh to 0 f(h, h)h
Passo 5
Agora, vamos calcular f(h, h) . Pela definição da função:
f(x, y) = x^5x^4 + y^4
Substituindo x = h e y = h :
f(h, h) = h^5h^4 + h^4 = h^52h^4 = h2
Passo 6
Substituindo f(h, h) na expressão da derivada direcional:
Duf(0,0) = limh to 0 h2h = limh to 0 12 = 12
Resposta
A derivada direcional de f no ponto P(0,0) na direção de u = (1,1) é 12 .