Calcule caso exista, lim n infty an, sendo an igual a:
2+raiz2+raiz[3]2+ldots+raiz[n]2n.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 2 + raiz2 + raiz[3]2 + cdots + raiz[n]2n =1nsumk=1^n2^1/k
e pede limntoinftyan. O conteúdo aqui é limite de sequência e o fato de que se os termos uk convergem para L, então a média aritmética 1nsumk=1^n uk também converge para L.

Passo 2

Definimos uk = 2^1/k. Como 1/kto 0 quando ktoinfty e 2^x é contínua, temos
limktoinftyuk =limktoinfty2^1/k =2^0 =1

Passo 3

Usamos o lema de Cesàro: se limktoinftyuk=L, então
limntoinfty1nsumk=1^n uk ;=;L
Alternativamente, para dar um “conta” direta, fixamos varepsilon>0 e escolhemos N tal que |uk-1|<varepsilon para todo k>= N. Então, para n>N,
l|an-1r| =l|1nsumk=1^n(uk-1)r| <= 1nsumk=1^N-1|uk-1| + 1nsumk=N^n|uk-1|
O primeiro termo fica Ol(tfrac1nr)to0 e o segundo é
<=n-N+1n,varepsilon<varepsilon. Logo limntoinftyan=1.

Resposta

limntoinftyan = 1

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