Use integral tripla para calcular o volume do tetraedro formado pelos planos x=0, y=0, z=0, e x+y2+z4=1.

Passo 1

No enunciado, precisamos calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x + tfracy2 + tfracz4 = 1. O conteúdo principal aqui é volume via integral tripla, onde vamos integrar a função identidade 1 sobre a região em questão.

Passo 2

Primeiro, descrevemos a região D: é o conjunto de pontos (x,y,z) com x>=0, y>=0, z>=0 e x + tfracy2 + tfracz4 <= 1. Os interceptos com os eixos são: em x igual a 1, em y igual a 2 e em z igual a 4. Para montar a integral escolhemos a ordem dx,dy,dz.

Passo 3

A integral tripla do volume fica assim:
V = integralz=0^4integraly=0^2-tfracz2integralx=0^1-tfracy2-tfracz41,dx,dy,dz
Aqui a função integrando é 1, pois estamos somando pequenos volumes.

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
integralx=0^1-tfracy2-tfracz4dx = l[xr]0^1-tfracy2-tfracz4 = 1 - y2 - z4
Substituindo no passo anterior, integramos em y:
integraly=0^2-tfracz2l(1 - tfracy2 - tfracz4r)dy = l[y - tfracy^24 - tfracyz4r]0^2-tfracz2 = 1 - tfracz2 + tfracz^216
Aqui expandimos e simplificamos cuidadosamente.

Passo 5

Por fim, integramos em z:
integralz=0^4l(1 - tfracz2 + tfracz^216r)dz = l[z - tfracz^24 + tfracz^348r]0^4 = 43

Resposta

43

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