Use integral tripla para calcular o volume do tetraedro formado pelos planos
,
, e
.
Passo 1
No enunciado, precisamos calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos
,
,
e
. O conteúdo principal aqui é volume via integral tripla, onde vamos integrar a função identidade 1 sobre a região em questão.
Passo 2
Primeiro, descrevemos a região
: é o conjunto de pontos
com
,
,
e
. Os interceptos com os eixos são: em
igual a 1, em
igual a 2 e em
igual a 4. Para montar a integral escolhemos a ordem
.
Passo 3
A integral tripla do volume fica assim:
Aqui a função integrando é 1, pois estamos somando pequenos volumes.
Passo 4
Calculamos a integral interna em
:
Substituindo no passo anterior, integramos em
:
Aqui expandimos e simplificamos cuidadosamente.
Passo 5
Por fim, integramos em
: