Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas.
sumn=1^infty n^nn!.

Passo 1

Tranquilo, o enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^inftyn^nn!
é convergente ou divergente. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão, que diz: se
L = limntoinftyan+1an
existe e L>1, então a série sum an diverge.

Passo 2

Definimos an = n^nn! e calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = ,(n+1)^,n+1/(n+1)!,,n^n/n!, = (n+1)^n+1n^n,n!(n+1)! = (n+1)^n+1n^n,1n+1 = l(1+1nr)^n

Passo 3

Faltou só ver o limite
limntoinftyl(1+1nr)^n = e
Como e>1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^nn! diverge.

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