Calcule caso exista, o lim n +infty an, sendo an igual a
integral1^n 11+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim n +infty an, onde an é a integral de 11+x^2 de 1 até n. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais definidas e limites para descobrir o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a integral integral1^n 11+x^2 dx. A função 11+x^2 tem uma integral conhecida: a antiderivada é arctan(x). Isso porque a derivada de arctan(x) é exatamente 11+x^2.

Passo 3

Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
integral1^n 11+x^2 dx = arctan(n) - arctan(1)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite disso quando n tende ao infinito:
limn +infty ( arctan(n) - arctan(1) )

Passo 5

Sabemos que arctan(n) tende a pi2 quando n tende ao infinito, e arctan(1) é pi4, já que tan(pi4) = 1.

Passo 6

Substituindo esses valores no limite:
pi2 - pi4 = pi4

Resposta

O limite é pi4.

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