Calcule
integral0^3 xraizx+1 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida integral0^3 xraizx+1,dx. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais por substituição, usando regras de potências. Vamos precisar usar uma mudança de variável para simplificar o integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x + 1. Assim, du = dx e x = u - 1. Quando x = 0, temos u = 1; quando x = 3, u = 4. A integral passa a ser:
integral0^3 xraizx+1,dx = integral1^4 u - 1raizu,du

Passo 3

Agora simplificamos o integrando usando potências:
u - 1raizu = uu^1/2 - 1u^1/2 = u^1/2 - u^-1/2

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para obter a antiderivada. Sabemos que integral u^n,du = u^n+1n+1 para n neq -1. Logo:
integral u^1/2,du = 23u^3/2,
integral u^-1/2,du = 2u^1/2
Então a primitiva geral é
F(u) = 23u^3/2 - 2u^1/2

Passo 5

Finalmente, avaliamos nos limites u=1 e u=4:
F(4) = 23cdot 4^3/2 - 2cdot 4^1/2 = 23cdot 8 - 2cdot 2 = 163 - 4 = 43,
F(1) = 23cdot 1^3/2 - 2cdot 1^1/2 = 23 - 2 = -43
A integral definida é
F(4) - F(1) = 43 - l(-tfrac43r) = 83

Resposta

83

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