Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim x 1 x^4+3 x^3-13 x^2-27 x+36x^2+3 x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 x^4+3 x^3-13 x^2-27 x+36x^2+3 x-4. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar verificar se conseguimos simplificar a expressão, talvez fatorando os polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 1 diretamente na fração para ver o que acontece:
1^4 + 3 cdot 1^3 - 13 cdot 1^2 - 27 cdot 1 + 361^2 + 3 cdot 1 - 4 = 1 + 3 - 13 - 27 + 361 + 3 - 4 = 00
A gente obteve uma forma indeterminada 00, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador. Começando pelo denominador x^2 + 3x - 4. Procuramos dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1. Então:
x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador x^4 +3x^3-13x^2-27x+36. Sabemos que x = 1 é uma raiz porque substituímos e deu 0. Então, (x - 1) é um fator. Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, dividimos o numerador por (x - 1):
Após a divisão, obtemos:
x^4 +3x^3-13x^2-27x+36 = (x - 1)(x^3 +4x^2-9x-36)

Passo 5

Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico x^3 +4x^2-9x-36. Testamos possíveis raízes e descobrimos que x = 3 é uma raiz:
x^3 +4x^2-9x-36 = (x - 3)(x^2 +7x +12)
E o trinômio quadrático pode ser fatorado também:
x^2 +7x +12 = (x + 3)(x + 4)

Passo 6

Então, o numerador totalmente fatorado fica:
x^4 +3x^3-13x^2-27x+36 = (x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4)
E o denominador já foi fatorado como (x + 4)(x - 1). Agora podemos simplificar a fração cancelando os fatores comuns (x - 1) e (x + 4):
(x - 1)(x - 3)(x + 3)(x + 4)(x + 4)(x - 1) = (x - 3)(x + 3)

Passo 7

Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando x se aproxima de 1:
lim x 1 (x - 3)(x + 3) = (1 - 3)(1 + 3) = (-2)(4) = -8

Resposta

O limite é -8.

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