Calcule, caso existam, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar verificar se conseguimos simplificar a expressão, talvez fatorando os polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na fração para ver o que acontece:
A gente obteve uma forma indeterminada
, então precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador. Começando pelo denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o numerador
. Sabemos que
é uma raiz porque substituímos e deu
. Então,
é um fator. Usando a divisão polinomial ou a regra de Ruffini, dividimos o numerador por
:
Após a divisão, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico
. Testamos possíveis raízes e descobrimos que
é uma raiz:
E o trinômio quadrático pode ser fatorado também:
Passo 6
Então, o numerador totalmente fatorado fica:
E o denominador já foi fatorado como
. Agora podemos simplificar a fração cancelando os fatores comuns
e
:
Passo 7
Agora, calculamos o limite da expressão simplificada quando
se aproxima de
:
Resposta
O limite é
.