Calcule, caso existam, os seguintes limites (aqui, a>0 e m, n in N ): lim x 2 raizx-1-1raiz[3]5 x-2-2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x 2 raizx-1 - 1raiz[3]5x - 2 - 2
Aqui, estamos lidando com uma expressão envolvendo raízes quadradas e cúbicas. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra e, possivelmente, a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz2-1 - 1raiz[3]5 cdot 2 - 2 - 2 = raiz1 - 1raiz[3]10 - 2 - 2 = 1 - 12 - 2 = 00 na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de outra abordagem para resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma das técnicas mais eficazes é a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos lembrar brevemente como essa regra funciona:
Se ou , então:

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Numerador: f'(x) = 12raizx-1
A derivada de g'(x) = 53(5x - 2)^2/3 é:
  • Denominador:
A derivada de é:

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
lim x 2 12raizx-153(5x - 2)^2/3 = lim x 2 3(5x - 2)^2/310raizx-1

Passo 6

Vamos substituir 3(5 cdot 2 - 2)^2/310raiz2-1 = 3(10 - 2)^2/310 cdot 1 = 3(8)^2/310 na expressão derivada:
8^2/3 = (8^1/3)^2 = 2^2 = 4
Sabemos que 3 cdot 410 = 1210 = 65 , então:
Portanto:

Resposta

O limite é igual a .

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