Calcule, caso existam, os seguintes limites (aqui,
e
):
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com uma expressão envolvendo raízes quadradas e cúbicas. Para resolver esse tipo de limite, vamos precisar usar algumas técnicas de álgebra e, possivelmente, a Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de outra abordagem para resolver o limite.
Passo 3
Quando encontramos
, uma das técnicas mais eficazes é a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos lembrar brevemente como essa regra funciona:
Se
ou
, então:
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
- Numerador:
A derivada de
é:
- Denominador:
A derivada de
é:
Passo 5
Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
Passo 6
Vamos substituir
na expressão derivada:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Resposta
O limite é igual a
.