Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para f(x) e determine o raio de convergência.
(e) f(x) = x * 2^(-3 * x);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função ao redor de 0. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde essa representação funciona direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma:
Onde são os coeficientes que multiplicam cada potência de . O objetivo é encontrar esses coeficientes para a nossa função .

Passo 3

Observa que a função pode ser reescrita usando a base , que facilita a expansão em série. Vamos fazer isso:
Aqui, usamos a propriedade de logaritmos que permite converter a base 2 para base .

Passo 4

Agora, sabemos que a função exponencial pode ser expandida em uma série de potências assim:
No nosso caso, . Então, substituindo na série:

Passo 5

Mas lembre-se que a nossa função é . Então, vamos multiplicar a série que encontramos por :
Isso resulta em:
Podemos também reindexar a soma para facilitar a visualização, deixando começando de 1:

Passo 6

Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. Para séries de potências da forma , sabemos que a série converge para todo valor de , ou seja, o raio de convergência é infinito. Como multiplicar por não altera essa propriedade, conclui-se que o raio de convergência da nossa série também é infinito.

Resposta

A representação em série de potências para em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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