Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para
e determine o raio de convergência.
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função
ao redor de 0. Isso significa que vamos expressar essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Além disso, temos que determinar o raio de convergência dessa série, ou seja, até onde essa representação funciona direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. É uma soma infinita que tem a forma:
Onde
são os coeficientes que multiplicam cada potência de
. O objetivo é encontrar esses coeficientes para a nossa função
.
Passo 3
Observa que a função
pode ser reescrita usando a base
, que facilita a expansão em série. Vamos fazer isso:
Aqui, usamos a propriedade de logaritmos que permite converter a base 2 para base
.
Passo 4
Agora, sabemos que a função exponencial
pode ser expandida em uma série de potências assim:
No nosso caso,
. Então, substituindo na série:
Passo 5
Mas lembre-se que a nossa função
é
. Então, vamos multiplicar a série que encontramos por
:
Isso resulta em:
Podemos também reindexar a soma para facilitar a visualização, deixando
começando de 1:
Passo 6
Agora, vamos falar sobre o raio de convergência. Para séries de potências da forma
, sabemos que a série converge para todo valor de
, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como multiplicar por
não altera essa propriedade, conclui-se que o raio de convergência da nossa série também é infinito.
Resposta
A representação em série de potências para
em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.