Calcule, caso existam, os seguintes limites (aqui, a>0 e m, n in N ): lim x a raiz[3 m]x-raiz[3 m]araiz[2 n]x-raiz[2 n]a

Passo 1

Vamos calcular o limite dado:
limx a raiz[3m]x - raiz[3m]araiz[2n]x - raiz[2n]a
Esse exercício está relacionado com o estudo de limites de funções que envolvem raízes de potências fracionárias. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando o limite apresenta uma forma indeterminada do tipo ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o limite apresenta uma forma indeterminada que nos permite usar a Regra de L’Hôpital. Substituindo raiz[3m]a - raiz[3m]araiz[2n]a - raiz[2n]a = 00 :
Como obtemos uma forma , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que o limite de quando tende a é igual ao limite de , desde que esse limite exista.

Passo 3

Agora, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a f(x) = raiz[3m]x = x^13m .
Numerador:
f'(x) = 13m cdot x^13m - 1 = 13m cdot x^1 - 3m3m
g(x) = raiz[2n]x = x^12n
Denominador:
g'(x) = 12n cdot x^12n - 1 = 12n cdot x^1 - 2n2n

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite se transforma em:
limx a f'(x)g'(x) = limx a 13m cdot x^1 - 3m3m 12n cdot x^1 - 2n2n = limx a 2n3m cdot x^1 - 3m3m - 1 - 2n2n
Agora, vamos simplificar o expoente:
1 - 3m3m - 1 - 2n2n = 2n(1 - 3m) - 3m(1 - 2n)6mn = 2n - 6mn - 3m + 6mn6mn = 2n - 3m6mn = 2n - 3m6mn

Passo 5

Substituindo limx a 2n3m cdot a^2n - 3m6mn = 2n3m cdot a^2n - 3m6mn , temos:

Resposta

O limite é:
2n3m cdot a^2n - 3m6mn

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