Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
(f) sumn=1^+infty n!(x+3)^n2^n.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem a série e precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência dela. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , ela diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = n!(x+3)^n2^n na nossa série:
an+1 = (n+1)!(x+3)^n+12^n+1
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
an+1an = (n+1)!(x+3)^n+1/2^n+1n!(x+3)^n/2^n = (n+1) cdot (x+3) cdot 12
Simplificando:
| an+1an | = (n+1) cdot | x+32 |

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty (n+1) cdot | x+32 | tende ao infinito:
Como vai para infinito, se , o limite será infinito, que é maior que 1. Isso significa que a série diverge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é apenas o ponto .

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