Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,-1)} x^{2} y^{2}+2 x y+1

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(1,-1)}\bigl(x^{2}y^{2}+2xy+1\bigr)
Esse é um problema de limite de função de duas variáveis. Vamos usar a continuidade de polinômios para determinar a existência e o valor do limite.

Passo 2

A função
f(x,y)=x^{2}y^{2}+2xy+1
é um polinômio em x e y. Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}^2. Logo, o limite quando (x,y)\to(1,-1) existe e vale
\lim_{(x,y)\to(1,-1)}f(x,y)=f(1,-1).

Passo 3

Calculamos
f(1,-1)=1^{2}\cdot(-1)^{2}+2\cdot1\cdot(-1)+1=1-2+1=0.

Resposta

0

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