Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular, se existir, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{5\,x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para explorar a dependência radial e angular.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos(\theta),\quad y = r\sin(\theta),
onde r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} e \theta é o ângulo. Substituindo na função,
\frac{5\,x\,y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{5\,(r\cos(\theta))\,(r\sin(\theta))^{2}}{r} = 5\,r^{2}\,\cos(\theta)\,\sin^{2}(\theta).

Passo 3

Observe que para todo \theta vale
\bigl|\cos(\theta)\,\sin^{2}(\theta)\bigr|\le1,
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\bigl|5\,r^{2}\cos(\theta)\sin^{2}(\theta)\bigr|\le5\,r^{2}.
Como r\to0 implica 5\,r^{2}\to0, pelo Teorema do Confronto (Squeeze) o valor da expressão também tende a zero, independentemente de \theta.

Passo 4

Concluímos que o limite existe e é igual a zero.

Resposta

0

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