Calcule, caso existam, os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow-1} \vec{H}(t), onde \vec{H}(t)=\left(\frac{t^{3}+1}{t+1}\right) \vec{i}+\left(\frac{\cos (2 t)}{t+1}\right) \vec{j}+4 t \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{t\to -1}\vec H(t), com
\vec H(t)=\frac{t^3+1}{t+1}\,\vec i \;+\;\frac{\cos(2t)}{t+1}\,\vec j\;+\;4t\,\vec k.
Para calcular o limite de uma função vetorial, fazemos limite em cada componente. Vamos usar fatoração para a primeira, análise de indeterminação para a segunda e substituição direta para a terceira.

Passo 2

Primeira componente:
\frac{t^3+1}{t+1}.
Fatorando o numerador:
t^3+1=(t+1)(t^2-t+1),
logo, para t\neq -1,
\frac{t^3+1}{t+1}=t^2-t+1
e portanto
\lim_{t\to -1}\frac{t^3+1}{t+1} =\lim_{t\to -1}(t^2-t+1) =(-1)^2-(-1)+1=3.

Passo 3

Segunda componente:
\frac{\cos(2t)}{t+1}.
No ponto t=-1 o numerador vale \cos(2\cdot(-1))=\cos(-2)=\cos(2)\neq 0,
enquanto o denominador (t+1)\to 0. Isso gera divergência. De fato, como \cos(2)<0:
\lim_{t\to -1^-}\frac{\cos(2t)}{t+1} =\frac{\cos(2)}{0^-}=+\infty, \quad \lim_{t\to -1^+}\frac{\cos(2t)}{t+1} =\frac{\cos(2)}{0^+}=-\infty.
Não há limite finito nem mesmo um único limite infinito de dois lados.

Passo 4

Terceira componente:
\lim_{t\to -1}4t=4\cdot(-1)=-4.

Passo 5

Para que \lim_{t\to -1}\vec H(t) exista, todas as componentes teriam de convergir a um mesmo valor finito. Mas a segunda componente diverge de forma diferente à esquerda e à direita de -1. Logo, o limite vetorial não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{t\to -1}\vec H(t) não existe.

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