Resolva as questões a seguir:
\quad \int \frac{x^{2}+7 x+3}{(x+2)^{3}} \cdot d x (frações parciais)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}+7x+3}{(x+2)^{3}}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo é decomposição em frações simples e integração de potências de (x+2).

Passo 2

Como o grau do numerador 2 é menor que o do denominador 3, podemos escrever
\frac{x^{2}+7x+3}{(x+2)^{3}} =\frac{A}{x+2}+\frac{B}{(x+2)^{2}}+\frac{C}{(x+2)^{3}}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x+2)^{3}, obtemos
x^{2}+7x+3 = A(x+2)^{2}+B(x+2)+C.
Expandindo as parcelas à direita:
A(x^{2}+4x+4)+B(x+2)+C = A x^{2}+(4A+B)x+(4A+2B+C).
Igualando coeficientes de x^{2}, x e termo constante:
\begin{cases} A=1,\\\\ 4A+B=7\implies B=3,\\\\ 4A+2B+C=3\implies 4+6+C=3\implies C=-7. \end{cases}

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int\frac{1}{x+2}\,dx =\ln\bigl|x+2\bigr|,
\int\frac{3}{(x+2)^{2}}\,dx =3\int (x+2)^{-2}dx =3\cdot\frac{(x+2)^{-1}}{-1} =-\frac{3}{x+2},
\int\frac{-7}{(x+2)^{3}}\,dx =-7\int (x+2)^{-3}dx =-7\cdot\frac{(x+2)^{-2}}{-2} =\frac{7}{2(x+2)^{2}}.

Resposta

\int \frac{x^{2}+7x+3}{(x+2)^{3}}\,dx =\ln\bigl|x+2\bigr| -\frac{3}{x+2} +\frac{7}{2(x+2)^{2}} +C.

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