Utilize o teste dos caminhos para provar a não existência dos seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
\lim_{(x,y)\to(1,0)}\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}+y^{2}}
usando o teste dos caminhos, que consiste em aproximar (x,y) de (1,0) por retas de diferentes inclinações e verificar se o valor do limite depende da inclinação.

Passo 2

Considere a reta que passa por (1,0) com coeficiente angular k. Podemos param-etrizar essa reta por
x - 1 = t,\quad y = k\,t,
onde t\to 0 faz (x,y)\to(1,0). Substituindo na função, obtemos
\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}+y^{2}} =\frac{t^{2}}{t^{2}+(k\,t)^{2}} =\frac{t^{2}}{t^{2}(1+k^{2})} =\frac{1}{1+k^{2}}.
Logo, ao longo da reta y=k(x-1), o limite vale \tfrac{1}{1+k^{2}}.

Passo 3

Escolhendo duas retas com inclinações diferentes:
  • Para k=0 (reta horizontal y=0), o limite é
\frac{1}{1+0^{2}}=1.
  • Para k=1 (reta de 45\circ y=x-1), o limite é
\frac{1}{1+1^{2}}=\tfrac12.
Como 1 \neq \tfrac12, o valor do limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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