Calcule a derivada da curva dada por
\vec{R}(t)=\left(\frac{t^{2}-3}{t+2}\right) \vec{i}+\ln \left(1+t^{4}\right) \vec{j}+e^{t} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada do vetor
\vec{R}(t)=\underbrace{\frac{t^{2}-3}{t+2}}_{R_x(t)}\,\vec{i} +\underbrace{\ln\bigl(1+t^{4}\bigr)}_{R_y(t)}\,\vec{j} +\underbrace{e^{t}}_{R_z(t)}\,\vec{k}\,.
O que vamos usar é: regra do quociente para R_x(t), regra da cadeia para R_y(t) e que a derivada de e^{t} é e^{t}.

Passo 2

Para R_x(t)=\dfrac{t^{2}-3}{t+2} aplicamos a regra do quociente \bigl(\tfrac{g}{h}\bigr)'=\tfrac{g'h-gh'}{h^{2}}. Aqui g(t)=t^2-3 e h(t)=t+2, logo g'(t)=2t e h'(t)=1.
\frac{d}{dt}\left(\frac{t^{2}-3}{t+2}\right) =\frac{(2t)(t+2)-(t^{2}-3)\cdot1}{(t+2)^{2}} =\frac{2t^{2}+4t -t^{2}+3}{(t+2)^{2}} =\frac{t^{2}+4t+3}{(t+2)^{2}}.

Passo 3

Para R_y(t)=\ln\bigl(1+t^{4}\bigr) usamos a regra da cadeia: \bigl(\ln u\bigr)'=u'/u com u(t)=1+t^4 e u'(t)=4t^3.
\frac{d}{dt}\ln\bigl(1+t^{4}\bigr) =\frac{4t^{3}}{1+t^{4}}.

Passo 4

Para R_z(t)=e^{t} sabemos diretamente que
\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.

Resposta

\vec{R}'(t) =\frac{t^{2}+4t+3}{(t+2)^{2}}\,\vec{i} +\frac{4t^{3}}{1+t^{4}}\,\vec{j} +e^{t}\,\vec{k}.

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