Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim s +infty(s+1s-1)^s;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos e propriedades de limites quando a variável tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
s+1s-1 = s(1 + 1s)s(1 - 1s) = 1 + 1s1 - 1s
Quando tende a , tende a 0. Então, a fração se aproxima de .

Passo 3

Agora, temos que o limite fica parecido com L = lims +infty (s+1s-1)^s quando ln L = lims +infty s cdot ln(s+1s-1) tende a , e é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos usar logaritmos.
Vamos chamar o limite de :
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora, precisamos simplificar ln(s+1s-1) = ln(s+1) - ln(s-1) :
ln(s + a) approx ln s + as
Usando a expansão de Taylor para ln(s+1) approx ln s + 1s quando ln(s-1) approx ln s - 1s tende a ln(s+1) - ln(s-1) approx (ln s + 1s) - (ln s - 1s) = 2s :
Então,
Subtraindo:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão para ln L = lims +infty s cdot 2s = lims +infty 2 = 2 :
Então, .

Passo 6

Para encontrar L = e^ln L = e^2 , basta usar a função exponencial:

Resposta

O limite é .

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