Calcule, caso existam, os seguintes limites:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
.
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos e propriedades de limites quando a variável tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
Quando
tende a
,
tende a 0. Então, a fração se aproxima de
.
Passo 3
Agora, temos que o limite fica parecido com
quando
tende a
, e
é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos usar logaritmos.
Vamos chamar o limite de
:
Tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 4
Agora, precisamos simplificar
:
Usando a expansão de Taylor para
quando
tende a
:
Então,
Subtraindo:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão para
:
Então,
.
Passo 6
Para encontrar
, basta usar a função exponencial:
Resposta
O limite é
.