Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
© sumn=1^+infty(-1)^n (x+1)^nn 4^n;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o raio de convergência sumn=1^+infty (-1)^n (x+1)^nn cdot 4^n e o intervalo de convergência da série apresentada:
Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência indica até que ponto o valor de faz com que a série convirja. Para encontrar , podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é super útil para esse tipo de problema.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, a gente calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Onde | an+1an | = | (-1)^n+1 (x+1)^n+1(n+1) cdot 4^n+1(-1)^n (x+1)^nn cdot 4^n | = | (x+1)^n+1(n+1) cdot 4^n+1 cdot n cdot 4^n(x+1)^n | = | (x+1) cdot n4 cdot (n+1) | . Vamos calcular:
L = limn to infty | (x+1) cdot n4 cdot (n+1) | = | x+14 |
Simplificando:

Passo 4

Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que | x+14 | < 1 :
-1 < x+14 < 1 -4 < x+1 < 4 -5 < x < 3
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o raio de convergência é 4, e o intervalo de convergência preliminar é .

Passo 5

Agora, vamos verificar os pontos finais do intervalo sumn=1^+infty (-1)^n (-5+1)^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty (-1)^n (-4)^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty 1n e sumn=1^+infty (-1)^n (3+1)^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty (-1)^n 4^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty (-1)^nn para ver se a série converge nesses valores.
  • Para :
Isso é a série harmônica, que diverge.
  • Para :
Essa é a série harmônica alternada, que converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

O raio de convergência é 4 e o intervalo de convergência é .

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