Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série apresentada:
Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência indica até que ponto o valor de faz com que a série convirja. Para encontrar , podemos usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é super útil para esse tipo de problema.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, a gente calcula o limite:
L = limn to infty | (x+1) cdot n4 cdot (n+1) | = | x+14 |
Simplificando:
Passo 4
Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que | x+14 | < 1 :
-1 < x+14 < 1 -4 < x+1 < 4 -5 < x < 3
Resolvendo essa desigualdade:
Então, o raio de convergência é 4, e o intervalo de convergência preliminar é .
Passo 5
Agora, vamos verificar os pontos finais do intervalo sumn=1^+infty (-1)^n (-5+1)^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty (-1)^n (-4)^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty 1n e sumn=1^+infty (-1)^n (3+1)^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty (-1)^n 4^nn cdot 4^n = sumn=1^+infty (-1)^nn para ver se a série converge nesses valores.
Para :
Isso é a série harmônica, que diverge.
Para :
Essa é a série harmônica alternada, que converge pelo Teste da Série Alternada.
Resposta
O raio de convergência é 4 e o intervalo de convergência é .