Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para
e determine o raio de convergência.
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
em torno de 0, e também determinar o raio de convergência dessa série. Estamos lidando com séries de potências, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para resolver, vamos precisar manipular a função para colocá-la em uma forma que facilite a expansão em série e então aplicar conhecimentos sobre séries geométricas e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que seja mais fácil trabalhar com séries conhecidas. Sabemos que
tem uma série de potências conhecida, então vamos tentar expressar
de modo similar.
Passo 3
Agora, lembrando da série geométrica básica:
Sabemos que derivando ambos os lados dessa igualdade em relação a
, obtemos a série para
:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa série por
para obter
:
Podemos ajustar o índice da soma para simplificar a expressão. Vamos fazer
, então
:
Passo 5
Para deixar a série começando em
, fazemos outra mudança de índice:
, então
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Portanto, a representação em série de potências para
em torno de 0 é:
Passo 7
Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original
converge para
. Como multiplicamos por
, o intervalo de convergência não muda, apenas desloca a série. Portanto, o raio de convergência da série de
também é 1.
Resposta
A representação em série de potências para
em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é 1.