Encontre uma representação em série de potências (em torno de 0 ) para f(x) e determine o raio de convergência.
(b) f(x) = x^3 / (x - 1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função em torno de 0, e também determinar o raio de convergência dessa série. Estamos lidando com séries de potências, que são usadas para representar funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver, vamos precisar manipular a função para colocá-la em uma forma que facilite a expansão em série e então aplicar conhecimentos sobre séries geométricas e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil trabalhar com séries conhecidas. Sabemos que tem uma série de potências conhecida, então vamos tentar expressar de modo similar.

Passo 3

Agora, lembrando da série geométrica básica:
Sabemos que derivando ambos os lados dessa igualdade em relação a , obtemos a série para :

Passo 4

Agora, multiplicamos essa série por para obter :
Podemos ajustar o índice da soma para simplificar a expressão. Vamos fazer , então :

Passo 5

Para deixar a série começando em , fazemos outra mudança de índice: , então :
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Portanto, a representação em série de potências para em torno de 0 é:

Passo 7

Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original converge para . Como multiplicamos por , o intervalo de convergência não muda, apenas desloca a série. Portanto, o raio de convergência da série de também é 1.

Resposta

A representação em série de potências para em torno de 0 é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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