Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim t pi 1-sen t2pi-t;

Passo 1

Vamos resolver o limite lim t pi 1-sen t2pi-t. Esse exercício envolve o conteúdo de limites, uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver, precisaremos entender o que é um limite e como aplicar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como 00.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir t por pi na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
1 - sin(pi2)pi - pi = 1 - 10 = 00
Encontramos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos de outra abordagem para calcular o limite.

Passo 3

Quando temos uma forma indeterminada 00, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos aplicar essa regra.

Passo 4

Derivamos o numerador e o denominador em relação a t:
  • Derivada do numerador: ddt(1 - sin(t2)) = -12cos(t2)
  • Derivada do denominador: ddt(pi - t) = -1

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se torna:
lim t pi -12cos(t2)-1 = lim t pi 12cos(t2)

Passo 6

Agora, substituímos t por pi na nova expressão:
12cos(pi2) = 12 times 0 = 0

Resposta

O limite lim t pi 1-sen t2pi-t é igual a 0.

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