Calcule, caso existam, os seguintes limites: lim t -infty 3 t+4raiz2 t^2-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui estamos trabalhando com limites no cálculo, especificamente olhando para o comportamento da função quando vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como termos com potências de se comportam quando fica muito, muito grande em valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos . Quando vai para menos infinito, o termo vai dominar sobre o 4, porque conforme fica muito grande (negativamente), se torna muito grande em valor absoluto. No denominador, temos . Aqui, o termo vai dominar sobre o -5, já que cresce mais rápido que qualquer constante.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar 3t + 4raiz2t^2 - 5 = t(3 + 4t)|t|raiz2 - 5t^2 no numerador e dentro da raiz no denominador. Reescrevendo:
Note que representa o valor absoluto de . Como está indo para menos infinito, .

Passo 4

Substituindo t(3 + 4t)-traiz2 - 5t^2 = 3 + 4t-raiz2 - 5t^2 , a expressão fica:
Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Quando 3 + 0-raiz2 - 0 = 3-raiz2 = -3raiz2 vai para menos infinito, e vão para zero. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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