É verdadeiro ou falso?
(d) Se
é periódica de período
e
, então
é periódica de período
.
(d) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
é periódica de período
e
, então
é periódica de período
."
Aqui, estamos trabalhando com funções periódicas, que repetem seus valores em intervalos regulares chamados períodos. Precisamos verificar se, ao alterar a variável da função multiplicando-a por um fator
, a periodicidade e o período da função resultante mudam conforme afirmado.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função
é periódica com período
se, para todo
real,
.
Agora, consideremos a função
. Queremos encontrar o período dessa nova função.
Para
ser periódica, deve existir um número
tal que:
Simplificando:
Como
tem período
, isso significa que:
Resolvendo para
:
Portanto, o período da função
seria
.
Passo 3
No entanto, precisamos considerar o valor de
. A periodicidade exige que o período
seja um número positivo. Se
for negativo,
seria negativo, o que não faz sentido no contexto de períodos.
Para garantir que o período seja positivo, usamos o valor absoluto de
. Assim, o período correto seria:
Isso significa que a afirmação original está correta apenas se considerarmos o valor absoluto de
.
Resposta
Falso. A afirmação correta seria que
é periódica de período
.