É verdadeiro ou falso?
(d) Se f(x) é periódica de período T e alpha em R*, então f(alfa x) é periódica de período T / alpha.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se é periódica de período e , então é periódica de período ."
Aqui, estamos trabalhando com funções periódicas, que repetem seus valores em intervalos regulares chamados períodos. Precisamos verificar se, ao alterar a variável da função multiplicando-a por um fator , a periodicidade e o período da função resultante mudam conforme afirmado.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função é periódica com período se, para todo real, .
Agora, consideremos a função . Queremos encontrar o período dessa nova função.
Para ser periódica, deve existir um número tal que:
Simplificando:
Como tem período , isso significa que:
Resolvendo para :
Portanto, o período da função seria .

Passo 3

No entanto, precisamos considerar o valor de . A periodicidade exige que o período seja um número positivo. Se for negativo, seria negativo, o que não faz sentido no contexto de períodos.
Para garantir que o período seja positivo, usamos o valor absoluto de . Assim, o período correto seria:
Isso significa que a afirmação original está correta apenas se considerarmos o valor absoluto de .

Resposta

Falso. A afirmação correta seria que é periódica de período .

Exercícios relacionados