Calcule, caso existir, os seguintes limites:
(b) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

Vamos analisar o limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}. Este exercício está relacionado com o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como a função se comporta quando os pontos (x, y) se aproximam de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, para determinar se o limite existe, precisamos verificar se o valor da função \frac{x y}{x^{2}+y^{2}} tende para o mesmo número independentemente do caminho que escolhemos para chegar em (0,0). Se obtivermos resultados diferentes dependendo do caminho, isso significa que o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher alguns caminhos específicos e calcular o limite ao longo deles.
a) Caminho onde y = 0:
Substituindo y por 0 na função:
\frac{x \cdot 0}{x^{2} + 0^{2}} = \frac{0}{x^{2}} = 0
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
b) Caminho onde y = x:
Substituindo y por x na função:
\frac{x \cdot x}{x^{2} + x^{2}} = \frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac{1}{2}
Então, ao longo desse caminho, o limite é \frac{1}{2}.
c) Caminho onde y = kx (onde k é uma constante qualquer):
Substituindo y por kx na função:
\frac{x \cdot kx}{x^{2} + (kx)^{2}} = \frac{kx^{2}}{x^{2}(1 + k^{2})} = \frac{k}{1 + k^{2}}
Aqui, o limite depende do valor de k. Ou seja, diferentes valores de k resultam em diferentes valores de limite.

Passo 4

Observamos que ao escolher diferentes caminhos para y em função de x, obtemos diferentes valores para o limite:
  • Ao longo de y = 0, o limite é 0.
  • Ao longo de y = x, o limite é \frac{1}{2}.
  • Em geral, para y = kx, o limite é \frac{k}{1 + k^{2}}.
Como o valor do limite varia dependendo do caminho escolhido para se aproximar de (0,0), isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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