Calcule, caso existir, os seguintes limites:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Este exercício está relacionado com o estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como a função se comporta quando os pontos
se aproximam de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, para determinar se o limite existe, precisamos verificar se o valor da função
tende para o mesmo número independentemente do caminho que escolhemos para chegar em
. Se obtivermos resultados diferentes dependendo do caminho, isso significa que o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher alguns caminhos específicos e calcular o limite ao longo deles.
a) Caminho onde
:
Substituindo
por 0 na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
b) Caminho onde
:
Substituindo
por
na função:
Então, ao longo desse caminho, o limite é
.
c) Caminho onde
(onde
é uma constante qualquer):
Substituindo
por
na função:
Aqui, o limite depende do valor de
. Ou seja, diferentes valores de
resultam em diferentes valores de limite.
Passo 4
Observamos que ao escolher diferentes caminhos para
em função de
, obtemos diferentes valores para o limite:
- Ao longo de
, o limite é 0. - Ao longo de
, o limite é . - Em geral, para
, o limite é .
Como o valor do limite varia dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.