Considere a função:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{3} y^{3}+x^{6}}{x^{4}+y^{4}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}y^{3}+x^{6}}{x^{4}+y^{4}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
O que vou responder (ou seja, as perguntas que a questão implicitamente pede):
  • Verificar se \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e, portanto, se f é contínua em (0,0).
  • Calcular as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
  • Verificar se f é diferenciável em (0,0) (isto é, se a aproximação linear com as derivadas parciais como coeficientes representa bem f perto da origem).
As informações relevantes que temos:
  • A expressão de f para pontos diferentes da origem e o valor especial f(0,0)=0.
  • Observação útil óbvia: numerador e denominador são polinômios; graus do numerador são 6 (termos x^3y^3 e x^6) e do denominador são 4 (termos x^4 e y^4).]

Passo 2

Provar que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0 (continuidade em (0,0)).
Estratégia didática: para limites em duas variáveis é muito prático usar coordenadas polares porque elas isolam o fator pequeno r (distância à origem). Lembrete rápido das coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad r\ge0.
Substituindo na expressão de f (para (x,y)\neq(0,0)) obtemos:
x^{3}y^{3}+x^{6} = r^{6}\big(\cos^{3}\theta\sin^{3}\theta+\cos^{6}\theta\big),
x^{4}+y^{4} = r^{4}\big(\cos^{4}\theta+\sin^{4}\theta\big).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y) = \dfrac{r^{6}\big(\cos^{3}\theta\sin^{3}\theta+\cos^{6}\theta\big)}{r^{4}\big(\cos^{4}\theta+\sin^{4}\theta\big)} = r^{2}\cdot \dfrac{\cos^{3}\theta\sin^{3}\theta+\cos^{6}\theta}{\cos^{4}\theta+\sin^{4}\theta}.
Vamos analisar a fração em \theta. Primeiro, note que \cos^{4}\theta+\sin^{4}\theta nunca é zero para nenhum \theta (pois \cos^{4}\theta\ge0, \sin^{4}\theta\ge0 e não podem ser simultaneamente zero). Para obter uma cota inferior explícita, escrevemos com t=\cos^{2}\theta (então \sin^{2}\theta=1-t):
\cos^{4}\theta+\sin^{4}\theta = t^{2}+(1-t)^{2} = 2\big(t-\tfrac{1}{2}\big)^{2}+\tfrac{1}{2} \ge \tfrac{1}{2}.
Assim \cos^{4}\theta+\sin^{4}\theta \ge \tfrac{1}{2} para todo \theta.
A parte do numerador
\cos^{3}\theta\sin^{3}\theta+\cos^{6}\theta tem módulo no máximo 2, porque |\cos^{3}\theta\sin^{3}\theta|\le1 e |\cos^{6}\theta|\le1. Logo a fração
g(\theta):=\dfrac{\cos^{3}\theta\sin^{3}\theta+\cos^{6}\theta}{\cos^{4}\theta+\sin^{4}\theta}
é limitada; de fato |g(\theta)|\le \dfrac{2}{1/2}=4.
Voltando a f, temos para (x,y)\neq(0,0)
|f(x,y)| = r^{2}\,|g(\theta)| \le 4\,r^{2}.
Logo, quando (x,y)\to(0,0) ou equivalentemente r\to0, segue que |f(x,y)|\le 4r^{2}\to 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0,
e, como f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em (0,0).
Comentário amigável: isso mostra que o numerador é de ordem r^{6} enquanto o denominador é de ordem r^{4}, resultando em comportamento da ordem r^{2}, que vai a zero bem rápido.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em (0,0) pelo limite definicional.
Definição (lembrando): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
e de maneira análoga para y.
Primeiro \partial f/\partial x em (0,0). Para pontos da forma (x,0) com x\neq0 a função simplifica porque y=0:
f(x,0)=\frac{x^{3}\cdot0^{3}+x^{6}}{x^{4}+0}=\frac{x^{6}}{x^{4}}=x^{2}.
Então
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^{2}}{h}=\lim_{h\to0}h=0.
Agora \partial f/\partial y em (0,0). Para pontos da forma (0,y) com y\neq0:
f(0,y)=\frac{0+y\text{-termos}}{0+y^{4}}=\frac{0}{y^{4}}=0.
Então
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-0}{k}=\lim_{k\to0}\frac{0}{k}=0.
Portanto as derivadas parciais em (0,0) existem e valem
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 4

Verificar diferenciabilidade em (0,0).
Lembrete didático: f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear (matriz gradiente) L(x,y)=a x + b y tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se as derivadas parciais existem, o candidato natural é L(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x+\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y. Aqui vimos que ambas as derivadas parciais valem zero, logo L(x,y)=0.
Então precisamos verificar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{r}=0,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Usando a expressão polar já obtida em Passo 2:
f(x,y) = r^{2}\, g(\theta),
com |g(\theta)|\le 4. Portanto
\left|\frac{f(x,y)}{r}\right| = r\,|g(\theta)| \le 4r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \dfrac{f(x,y)}{r}\to0. Isso mostra exatamente que o resto da aproximação linear dividido pela norma vai a zero, ou seja, f é diferenciável em (0,0) e a diferencial linear é a aplicação nula.
Interpretação intuitiva: f é muito “plano” perto da origem — seu valor é da ordem r^{2}, enquanto um erro linear seria da ordem r; portanto o comportamento quadrático garante que o termo linear dominante na expansão é zero.

Passo 5

Resumo dos resultados e observações finais (didático e motivador):
  • A técnica das coordenadas polares nos permitiu isolar o fator r^{2} e observar que f(x,y) tende a 0 como r^{2}; esta é uma técnica-padrão para limites em \mathbb{R}^{2} quando aparecem potências homogêneas.
  • O cálculo das derivadas parciais pela definição é simples porque ao restringir para os eixos a função reduz a expressões elementares ( f(x,0)=x^{2}, f(0,y)=0).
  • A verificação da diferenciabilidade segue mostrando que f é de ordem r^{2}, logo o resto dividido por r tende a zero, provando a diferenciabilidade com gradiente (0,0).
  • Como consolação final: apesar da aparência complicada do quociente, o comportamento de ordens das potências (graus do numerador e denominador) já dá uma pista forte — aqui numerador grau 6, denominador grau 4 → comportamento como r^{2}.

Resposta

f é contínua em (0,0) (limite igual a 0).
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
f é diferenciável em (0,0) e \nabla f(0,0)=(0,0).

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