Determine os pontos de \mathbb{R}^{2}\) nos quais as funções abaixo são contínuas:
b) \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos do plano bidimensional ([\mathbb{R}^{2})) a função dada é contínua. A função é definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de função em várias variáveis e, em especial, verificar o comportamento da função no ponto crítico ((0,0)].
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função quando (x, y) \neq (0,0). Nesse caso, o denominador x^{2} + y^{2} é diferente de zero, o que significa que a função está bem definida e é composta por polinômios, que são funções contínuas. Portanto, para todos os pontos diferentes de (0,0), a função f(x, y) é contínua.
Passo 3
Agora, o ponto chave é verificar a continuidade no ponto (0,0). Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Vamos calcular esse limite:
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3} - x y^{2}}{x^{2} + y^{2}}
Passo 4
Para facilitar o cálculo desse limite, vamos usar coordenadas polares, onde x = r \cos\theta e y = r \sin\theta. Substituindo na função: