Determine os pontos de \mathbb{R}^{2}\) nos quais as funções abaixo são contínuas: b) \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais pontos do plano bidimensional ([\mathbb{R}^{2})) a função dada é contínua. A função é definida por partes:
f(x, y)= \begin{cases} \frac{x^{3}-x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text{se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text{se }(x, y)=(0,0) \end{cases}
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade de função em várias variáveis e, em especial, verificar o comportamento da função no ponto crítico ((0,0)].

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quando (x, y) \neq (0,0). Nesse caso, o denominador x^{2} + y^{2} é diferente de zero, o que significa que a função está bem definida e é composta por polinômios, que são funções contínuas. Portanto, para todos os pontos diferentes de (0,0), a função f(x, y) é contínua.

Passo 3

Agora, o ponto chave é verificar a continuidade no ponto (0,0). Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) deve ser igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Vamos calcular esse limite:
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^{3} - x y^{2}}{x^{2} + y^{2}}

Passo 4

Para facilitar o cálculo desse limite, vamos usar coordenadas polares, onde x = r \cos\theta e y = r \sin\theta. Substituindo na função:
f(r, \theta) = \frac{(r \cos\theta)^{3} - (r \cos\theta)(r \sin\theta)^{2}}{(r \cos\theta)^{2} + (r \sin\theta)^{2}}
Simplificando:
f(r, \theta) = \frac{r^{3} \cos^{3}\theta - r^{3} \cos\theta \sin^{2}\theta}{r^{2} (\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta)} = \frac{r^{3} \cos\theta (\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)}{r^{2}} = r \cos\theta (\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento quando r \to 0:
\lim_{r \to 0} r \cos\theta (\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta) = 0
Isso porque r está multiplicando as outras partes da expressão e, ao tender para zero, todo o termo se anula, independente do valor de \theta.

Passo 6

Como o limite da função quando (x, y) \to (0,0) é 0, que é exatamente o valor de f(0,0), concluímos que a função é contínua no ponto (0,0).

Resposta

A função f(x, y) é contínua em todos os pontos de \mathbb{R}^{2}.

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