Calcule, caso existir, os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite com forma indeterminada \tfrac{0}{0} e vamos aplicar a técnica de racionalização de expressões que envolvem raízes.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
\sqrt{2+0}-\sqrt{2-0}= \sqrt{2}-\sqrt{2}=0 \quad\text{e}\quad x=0,
logo temos \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}:
\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x} = \frac{(\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x})(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})}{x(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})} = \frac{(2+x)-(2-x)}{x\bigl(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\bigr)} = \frac{2x}{x\bigl(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\bigr)} = \frac{2}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}.

Passo 4

Agora basta tomar o limite de
\frac{2}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}
quando x\to0. Como \sqrt{2+x}\to\sqrt2 e \sqrt{2-x}\to\sqrt2, o denominador tende a 2\sqrt2. Logo,
\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}} = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt2}

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