Questão 1. Sendo
f(x)=\frac{|x-1|-1}{x^{2}-x-1}
determine o domínio de f, e o subconjunto de \mathbb{R} onde f(x)>0.

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\frac{|x-1|-1}{x^{2}-x-1}
e pede (a) o domínio de f e (b) o subconjunto de \mathbb{R} onde f(x)>0.
Conteúdo: domínio de função racional com valor absoluto e solução de desigualdade racional.
Vamos (i) achar onde o denominador se anula, (ii) reescrever o numerador em duas expressões sem |\cdot| e (iii) montar o quadro de sinais para f(x).

Passo 2

Para o domínio, exigimos
x^{2}-x-1\neq0.
As raízes de x^{2}-x-1=0 são
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Portanto
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\frac{1-\sqrt{5}}{2},\;\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr\}.

Passo 3

Reescrevemos o numerador |x-1|-1 em duas regiões:
- Se x\ge1, então |x-1|=x-1 e
|x-1|-1=(x-1)-1=x-2.
- Se x<1, então |x-1|=1-x e
|x-1|-1=(1-x)-1=-x.
Logo
f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{-x}{\,x^{2}-x-1\,},&x<1,\\[1em] \displaystyle\frac{x-2}{\,x^{2}-x-1\,},&x\ge1. \end{cases}]

Passo 4

Para resolver f(x)>0, analisamos o sinal de numerador e denominador em cada intervalo determinado pelas abscissas críticas
\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0<1<\frac{1+\sqrt{5}}{2}<2.
  1. x<\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}: aqui x<0<1, então numerador -x>0 e denominador x^{2}-x-1>0. Logo f(x)>0.
  2. \tfrac{1-\sqrt{5}}{2}<x<0: numerador -x>0, mas denominador x^{2}-x-1<0. Logo f(x)<0.
  3. 0<x<1: numerador -x<0, denominador x^{2}-x-1<0. Logo f(x)>0.
  4. 1\le x<\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}: numerador x-2<0 (já que x<2), denominador x^{2}-x-1<0. Logo f(x)>0.
  5. \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}<x<2: numerador x-2<0, denominador x^{2}-x-1>0. Logo f(x)<0.
  6. x>2: numerador x-2>0, denominador x^{2}-x-1>0. Logo f(x)>0.
Juntando e lembrando que em x=0 e x=2 temos f(x)=0, a região estritamente positiva é
(-\infty,\tfrac{1-\sqrt{5}}{2})\;\cup\;(0,\tfrac{1+\sqrt{5}}{2})\;\cup\;(2,\infty).

Resposta

Domínio:
\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\tfrac{1-\sqrt{5}}{2},\;\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr\}.
Conjunto onde f(x)>0:
(-\infty,\tfrac{1-\sqrt{5}}{2})\;\cup\;(0,\tfrac{1+\sqrt{5}}{2})\;\cup\;(2,\infty).

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