Calcule, caso existir, os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x})-\ln x

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0^+}\bigl[\ln\bigl(\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}\bigr)-\ln x\bigr].
O conteúdo usado será propriedades de logaritmo e técnicas de limites com radicais (racionalização).

Passo 2

Usamos a propriedade
\ln A-\ln B = \ln\frac{A}{B},
com A=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x} e B=x. Assim nosso limite vira
\lim_{x\to0^+}\ln\!\biggl(\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x}\biggr) =\ln\!\Bigl(\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x}\Bigr),
desde que o limite interno exista e seja positivo.

Passo 3

Para calcular
L = \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x},
racionalizamos o numerador:
\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x} =\frac{(2+x)-(2-x)}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}} =\frac{2x}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}.
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\frac{\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}}{x} =\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}\bigr)} =\frac{2}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}.

Passo 4

Agora calculamos o limite quando x\to0^+:
L = \lim_{x\to0^+}\frac{2}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}} =\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} =\frac{2}{2\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}.
Como L>0, o limite original vale
\ln L = \ln\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) =-\tfrac12\ln2.

Resposta

-\tfrac12\ln2.

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