Calcule, caso exita.
lim x +infty(1+2x)^x

Passo 1

O enunciado quer
limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x
Esse é um limite exponencial do tipo 1+pequeno elevado a infty. Para resolver, vamos usar logaritmo e, em seguida, o Teorema de l’Hôpital.

Passo 2

Defina
L = limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x
Se L>0 existe, então
ln L = limxto+infty lnl[l(1+tfrac2xr)^xr] = limxto+infty x,lnl(1+tfrac2xr)

Passo 3

O limite
limxto+infty x,lnl(1+tfrac2xr)
é forma inftycdot0. Reescrevemos como quociente para usar l’Hôpital:
x,lnl(1+tfrac2xr) = ln(1+tfrac2x)1/x
Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador
ddxlnl(1+tfrac2xr) = -2x^2l(1+tfrac2xr), ddxl(tfrac1xr) = -1x^2
Logo,
ln L = limxto+infty -2x^2(1+tfrac2x) -1x^2 = limxto+infty21+tfrac2x = 2

Passo 4

Tendo ln L=2, obtemos
L = e^2

Resposta

e^2

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