IFRN - Campus Natal Central Licenciatura em Física
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de x (em torno de x0=0 ), para as seguintes EDOs (expresse os primeiros 4 termos de cada série).
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver por séries de potências (método de Frobenius) em torno de x0=0 a EDO
x^2y''-2x,y'+y=0
Vamos supor uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r,
onde r é o expoente indicial e os an são coeficientes a determinar.

Passo 2

Calculemos as derivadas:
y'=sumn=0^infty(n+r),an,x^n+r-1, y''=sumn=0^infty(n+r)(n+r-1),an,x^n+r-2
Substituindo em x^2y''-2x,y'+y=0 obtemos
sumn=0^inftyl[(n+r)(n+r-1)-2(n+r)+1r],an,x^n+r=0
Para que isso valha para todo x, cada coeficiente deve anular-se.

Passo 3

O termo de menor potência é aquele com n=0. Daí vem a equação indicial:
r(r-1)-2r+1=0 Longrightarrow r^2-3r+1=0 Longrightarrow r1,2=3pmraiz9-42=3pmraiz52

Passo 4

Para n>=1 o coeficiente geral é
l[(n+r)(n+r-1)-2(n+r)+1r]an=0 ;Longrightarrow; l[(n+r)(n+r-3)+1r]an=0
Como (n+r)(n+r-3)+1neq0 para n>=1, segue an=0 para todo n>=1. Só a0 fica livre.

Passo 5

Cada solução de Frobenius resulta em uma série que não passa do termo n=0. Escolhendo a0=1 para normalizar, as duas séries (primeiros 4 “termos”) são
y1(x)=x^3+raiz52l(1+0,x+0,x^2+0,x^3+cdotsr),
y2(x)=x^3-raiz52l(1+0,x+0,x^2+0,x^3+cdotsr)

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,x^3+raiz52+C2,x^3-raiz52

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