IFRN - Campus Natal Central Licenciatura em Física
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de
(em torno de
), para as seguintes EDOs (expresse os primeiros 4 termos de cada série).
.
Equações Diferenciais Ordinárias (2024.2)
Prof. Tibério Alves, DSc
8 de fevereiro de 2025
Lista III - Método das séries de potências
Questão 1. Encontre a solução por séries de potências de
Passo 1
O enunciado pede para resolver por séries de potências (método de Frobenius) em torno de
a EDO
Vamos supor uma solução da forma
onde
é o expoente indicial e os
são coeficientes a determinar.
Passo 2
Calculemos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Para que isso valha para todo
, cada coeficiente deve anular-se.
Passo 3
O termo de menor potência é aquele com
. Daí vem a equação indicial:
Passo 4
Para
o coeficiente geral é
Como
para
, segue
para todo
. Só
fica livre.
Passo 5
Cada solução de Frobenius resulta em uma série que não passa do termo
. Escolhendo
para normalizar, as duas séries (primeiros 4 “termos”) são
Resposta
A solução geral é