As funções abaixo admitem máximo e mínimo? Explique como chegou a essa conclusão.
f(x)=x^2+x1+x,[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a função
f(x)=x^2+x1+x
definida em [-1,1] admite valor máximo e mínimo. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Extremo, que exige função contínua em intervalo fechado e limitado. Vamos verificar domínio, continuidade e extremos.

Passo 2

Primeiro observamos o domínio real de f. O denominador 1+x anula-se em x=-1, logo
dom(f)=(-1,1],,
isto é, o ponto x=-1 não faz parte do domínio, embora o intervalo dado seja [-1,1].

Passo 3

Para xneq -1 podemos simplificar:
f(x)=x(x+1)x+1=x
Logo em todo o domínio (-1,1] vale f(x)=x. Essa função é contínua em (-1,1], mas o domínio não é fechado em R, pois falta o ponto -1.

Passo 4

A busca por extremos de f(x)=x em (-1,1] é direta:
  • O supremo do conjunto xmid -1<x<=1 é 1, e ele é atingido em x=1, pois f(1)=1.
  • O ínfimo é -1, porém esse valor nunca é atingido porque x nunca chega a -1.

Resposta

A função admite máximo, dado por
maxxin(-1,1]f(x)=f(1)=1,
mas não admite mínimo, pois embora inf f=-1, esse valor não é alcançado no domínio.

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