Calcule A^-1 se A=(ccc-2 & -2 & t 0 & -1 & t 1 & 2 & 0), t in R

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = -2 & -2 & t 0 & -1 & t 1 & 2 & 0 ,
para tinR.
Conteúdo: matriz inversa via adjunta. Vamos precisar calcular det(A), a matriz dos cofatores, sua transposta (adjunta) e dividir pelo determinante.

Passo 2

Calculamos o determinante det(A) por regra de Sarrus ou expansão na primeira linha:
det(A) = -2det-1 & t2 & 0 -(-2)det0 & t1 & 0 + tdet0 & -11 & 2
Agora cada menor:
det-1 & t2 & 0 = -1cdot0 - tcdot2 = -2t,
det0 & t1 & 0 = 0cdot0 - tcdot1 = -t,
det0 & -11 & 2 = 0cdot2 -(-1)cdot1 = 1
Substituindo:
det(A) = -2(-2t) +2(-t) +tcdot1 = 4t -2t + t = 3t
Portanto A é invertível se, e somente se, tneq0.

Passo 3

Construímos a matriz dos cofatores C, onde Cij=(-1)^i+jMij. Calculando todos os menores e aplicando o sinal:
C = -2t & t & 1 2t & -t & 2 -t & 2t & 2

Passo 4

A adjunta de A é adj(A)=C^T. Logo
adj(A) = -2t & 2t & -t t & -t & 2t 1 & 2 & 2
Pela definição de inversa,
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 13t -2t & 2t & -t t & -t & 2t 1 & 2 & 2
Dividindo cada entrada por 3t e simplificando quando possível, obtemos:

Resposta

Para tneq0,
A^-1 = -tfrac23 & tfrac23 & -tfrac13[6pt] tfrac13 & -tfrac13 & tfrac23[6pt] tfrac13t & tfrac23t & tfrac23t ]

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