Qual a condição para duas retas serem paralelas, considerando seus vetores diretores?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a condição para duas retas serem paralelas, usando os seus vetores diretores. Vamos lembrar que, em geometria analítica, cada reta pode ser escrita na forma paramétrica
onde
e
são os vetores diretores de cada reta. Precisaremos de noções de dependência linear e produto vetorial para obter a condição de paralelismo.
Passo 2
Duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores forem paralelos. Em termos algébricos, isto significa que
e
são linearmente dependentes, ou seja, existe um escalar não-nulo
tal que
Passo 3
Essa condição
capta o fato de que um vetor apontando na mesma direção e sentido (ou sentido oposto, se
) basta para as retas nunca se cruzarem, mantendo-se paralelas em todo ponto.
Passo 4
Em
podemos usar o produto vetorial para testar paralelismo de forma compacta: dois vetores são paralelos se, e somente se, seu produto vetorial for o vetor nulo. Assim,
é condição equivalente à dependência linear acima.
Resposta
As retas com vetores diretores
e
são paralelas se, e somente se,
ou, em
, de forma equivalente,