Qual a condição para duas retas serem paralelas, considerando seus vetores diretores?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a condição para duas retas serem paralelas, usando os seus vetores diretores. Vamos lembrar que, em geometria analítica, cada reta pode ser escrita na forma paramétrica
r1: X = P1 + t,d1 e r2: X = P2 + s,d2
onde d1 e d2 são os vetores diretores de cada reta. Precisaremos de noções de dependência linear e produto vetorial para obter a condição de paralelismo.

Passo 2

Duas retas são paralelas se e somente se seus vetores diretores forem paralelos. Em termos algébricos, isto significa que d1 e d2 são linearmente dependentes, ou seja, existe um escalar não-nulo lambdainR tal que
d1 = lambda , d2

Passo 3

Essa condição d1 = lambda,d2 capta o fato de que um vetor apontando na mesma direção e sentido (ou sentido oposto, se lambda<0) basta para as retas nunca se cruzarem, mantendo-se paralelas em todo ponto.

Passo 4

Em R^3 podemos usar o produto vetorial para testar paralelismo de forma compacta: dois vetores são paralelos se, e somente se, seu produto vetorial for o vetor nulo. Assim,
d1 times d2 = 0
é condição equivalente à dependência linear acima.

Resposta

As retas com vetores diretores d1 e d2 são paralelas se, e somente se,
d1 = lambda,d2(lambdaneq0),
ou, em R^3, de forma equivalente,
d1 times d2 = 0

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