Nos Exercícios 9 e 10: (a) Para que valores de o vetor pertence a ? (b) Para que valores de o conjunto é linearmente dependente? Justifique cada resposta.
Passo 1
O enunciado dá os vetores , e
,
e pede:
(a) para quais temos (isto é, combinação linear de e );
(b) para quais o conjunto é linearmente dependente.
Passo 2
Note que
v2 = -3,v1,
pois multiplicando cada componente de v1 por -3 obtemos exatamente v2. Logo mathscrLv1,v2=mathscrLv1 é uma reta através da origem no sentido de v1.
Passo 3
Para ter
Da segunda equação segue . Como , não há escalar que satisfaça simultaneamente as duas primeiras equações, independentemente de .
Passo 4
Concluímos que não existe valor de h que faça v3 pertencer a mathscrLv1,v2.
Passo 5
Um conjunto de vetores em R^3 é linearmente dependente sempre que um deles for combinação linear dos outros. Aqui já vimos que v2=-3,v1, ou seja, v1 e v2 são linearmente dependentes. Portanto, para qualquer valor de h, o trio v1,v2,v3 permanece linearmente dependente.
Resposta
(a) Não há nenhum valor de h que coloque v3 em mathscrLv1,v2.
(b) O conjunto v1,v2,v3 é linearmente dependente para todo hinR.