Calcule o centro de massa.
B é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e 1,1 e a densidade é proporcional à distância do ponto à origem.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o centro de massa do triângulo com vértices em (0,0), 1,0 e 1,1. A densidade nesse triângulo é proporcional à distância de cada ponto até a origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centros de massa em geometria, especificamente integrando a densidade sobre a região do triângulo.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir a densidade rho(x, y) em cada ponto (x, y) do triângulo. Como a densidade é proporcional à distância até a origem, temos:
onde k é uma constante de proporcionalidade.

Passo 3

O centro de massa x̄, ȳ é dado pelas fórmulas:
onde D é a área do triângulo.

Passo 4

Vamos parametrizar a região D. Como o triângulo está entre x = 0 e x = 1, e para cada x, y vai de 0 a x, temos:

Passo 5

Calculamos a integral no denominador, que representa a massa total M:
Para simplificar, podemos considerar k=1, já que a constante se cancela nas fórmulas do centro de massa.

Passo 6

Primeiro, calculamos a massa M:
Substituindo , temos:
Calculando a integral interna:
Então:

Passo 7

Agora, calculamos :
Seguindo um processo semelhante ao do cálculo de M, obtemos:

Passo 8

De maneira análoga, calculamos y_bar:
Calculando essa integral, obtemos:

Resposta

Após calcular as integrais, o centro de massa do triângulo é aproximadamente:

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