Calcule o centro de massa.
é o triângulo de vértices
e
e a densidade é proporcional à distância do ponto à origem.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar o centro de massa do triângulo com vértices em
,
e
. A densidade nesse triângulo é proporcional à distância de cada ponto até a origem. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centros de massa em geometria, especificamente integrando a densidade sobre a região do triângulo.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir a densidade
em cada ponto
do triângulo. Como a densidade é proporcional à distância até a origem, temos:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 3
O centro de massa
é dado pelas fórmulas:
onde
é a área do triângulo.
Passo 4
Vamos parametrizar a região
. Como o triângulo está entre
e
, e para cada
,
vai de
a
, temos:
Passo 5
Calculamos a integral no denominador, que representa a massa total
:
Para simplificar, podemos considerar
, já que a constante se cancela nas fórmulas do centro de massa.
Passo 6
Primeiro, calculamos a massa
:
Substituindo
, temos:
Calculando a integral interna:
Então:
Passo 7
Agora, calculamos
:
Seguindo um processo semelhante ao do cálculo de
, obtemos:
Passo 8
De maneira análoga, calculamos
:
Calculando essa integral, obtemos:
Resposta
Após calcular as integrais, o centro de massa do triângulo é aproximadamente: